2019版同步优化探究理数(北师大版)练*:第二章 第五节 指数与指数函数含答案解析

发布于:2021-09-27 19:33:21

课时作业 A 组——基础对点练 1.函数 f(x)=2|x-1|的大致图像是( )

2x-1,x≥1, ? ? 解析:f(x)=??1?x-1 ? ? ,x<1, ? ??2? 在(-∞,1)上为减函数. 答案:B

所以 f(x)的图像在[1,+∞)上为增函数,

2.(2018· 广州市模拟)设 a=0.70.4,b=0.40.7,c=0.40.4,则 a,b,c 的大小关系为( A.b<a<c C.b<c<a B.a<c<b D.c<b<a

)

解析:∵函数 y=0.4x 在 R 上单调递减,∴0.40.7<0.40.4,即 b<c,∵y=x0.4 在(0,+∞)上单调递 增, ∴0.40.4<0.70.4,即 c<a,∴b<c<a. 答案:C 3.设 a>0,将 a2 3 a· a2 表示成分数指数幂的形式,其结果是( )

解析: 答案:C 4.设 x>0,且 1<bx<ax,则( A.0<b<a<1 C.1<b<a 解析:∵1<bx,∴b0<bx,∵x>0,∴b>1, ) B.0<a<b<1 D.1<a<b

故选 C.

a ?a? ∵bx<ax,∴?b?x>1,∵x>0,∴b>1?a>b,∴1<b<a.故选 C. ? ? 答案:C 5.已知函数 f(x)=ax,其中 a>0,且 a≠1,如果以 P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))为端点的线段的中点 在 y 轴上,那么 f(x1)· f(x2)等于( A.1 C .2 ) B.a D.a2

解析:∵以 P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))为端点的线段的中点在 y 轴上, ∴x1+x2=0. 又∵f(x)=ax, ∴f(x1)· f(x2)=ax1· ax2=ax1+x2=a0=1,故选 A. 答案:A

则( A.a<b<c C.c<a<b 3 2 ?2? 解析:∵y=?5?x 为减函数,5>5,∴b<c. ? ? 3 2 在(0,+∞)上为增函数,5>5, B.c<b<a D.b<c<a

)

又∵

∴a>c,∴b<c<a,故选 D. 答案:D 7.已知函数 f(x)=(x-a)(x-b)(其中 a>b)的图像如图所示,则函数 g(x)=ax+b 的图像是( )

解析:由函数 f(x)的图像可知,-1<b<0,a>1,则 g(x)=ax+b 为增函数,当 x=0 时,g(0)=1+

b>0,故选 C. 答案:C 1 8.已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为{x|x<-1 或 x>2},则 f(10x)>0 的解集为( A.{x|x<-1 或 x>-lg 2} B.{x|-1<x<-lg 2} C.{x|x>-lg 2} D.{x|x<-lg 2}
? ? ? ? 1 ? ? 1? ?x-2?(a 解析:因为一元二次不等式 f(x)<0 的解集为?x?x<-1或x>2 ?,所以可设 f(x)=a(x+1)· ? ? ? ? ? ? ?

)

1 ? x 1? ?10 -2?<0,即 10x< , <0),由 f(10x)>0 可得(10x+1)· 2 ? ? x<-lg 2,故选 D. 答案:D ?1? 2 9.函数 y=?2?2x-x 的值域为( ? ? ?1 ? A.?2,+∞? ? ? 1? ? C.?0,2? ? ? 解析:∵2x-x2=-(x-1)2+1≤1, ?1? 又 y=?2?t 在 R 上为减函数, ? ? ?1? ?1? 1 ∴y=?2?2x-x2≥?2?1=2, ? ? ? ? ?1 ? 即值域为?2,+∞?. ? ? 答案:A e2x+1 10.(2018· 哈尔滨模拟)函数 f(x)= ex 的图像( A.关于原点对称 C.关于 x 轴对称 ) ) 1? ? B.?-∞,2? ? ? D.(0,2]

B.关于直线 y=x 对称 D.关于 y 轴对称

e2x+1 x 1 1 1 解析:f(x)= ex =e +ex,∵f(-x)=e-x+ -x=ex+ex=f(x),∴f(x)是偶函数,∴函数 f(x)的图像 e 关于 y 轴对称.

答案:D ?f?x?,x>0, 11.(2018· 北京丰台模拟)已知奇函数 y=? ?g?x?,x<0. 像如图所示,那么 g(x)=( ) 如果 f(x)=ax(a>0,且 a≠1)对应的图

?1? A.?2?-x ? ? C.2-x

?1? B.-?2?x ? ? D.-2x

1 1 ?1? 解析:由题图知 f(1)=2,∴a=2,f(x)=?2?x, ? ? ?1? 由题意得 g(x)=-f(-x)=-?2?-x=-2x,故选 D. ? ? 答案:D ?3? 2+3a 12.关于 x 的方程?2?x= 有负数根,则实数 a 的取值范围为 ? ? 5-a ?3? 解析:由题意,得 x<0,所以 0<?2?x<1, ? ? 从而 0< 2+3a 2 3 <1,解得-3<a<4. 5-a .

? 2 3? 答案:?-3,4? ? ? 13.不等式 2x2-x<4 的解集为 .

解析:不等式 2x2-x<4 可转化为 2x2-x<22,利用指数函数 y=2x 的性质可得,x2-x<2,解得 -1<x<2,故所求解集为{x|-1<x<2}. 答案:{x|-1<x<2} 1 1 14. 已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且当 x≥0 时, f(x)=-4x+2x, 则此函数的值域为 1 ? 1? 1 解析:设 t=2x,当 x≥0 时,2x≥1,∴0<t≤1,f(t)=-t2+t=-?t-2?2+4, ? ? 1? 1 ? ∴0≤f(t)≤4,故当 x≥0 时,f(x)∈?0,4?.∵y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴当 x≤0 时,f(x)∈ ? ? ? 1 ? ? 1 1? ?-4,0?.故函数的值域为?-4,4?. ? ? ? ? .

? 1 1? 答案:?-4,4? ? ? B 组——能力提升练 1. 设函数 f(x)定义在实数集上, 它的图像关于直线 x=1 对称, 且当 x≥1 时, f(x)=3x-1, 则有( ?1? ?3? ?2? A.f?3?<f?2?<f?3? ? ? ? ? ? ? ?2? ?3? ?1? B.f?3?<f?2?<f?3? ? ? ? ? ? ? ?3? ?1? ?3? C.f?2?<f?3?<f?2? ? ? ? ? ? ? ?3? ?2? ?1? D.f?2?<f?3?<f?3? ? ? ? ? ? ? 解析:∵函数 f(x)的图像关于直线 x=1 对称, 1? ?5? ?2? ? 2? ?4? ?1? ? ∴f(x)=f(2-x),∴f?3?=f?2-3?=f?3?,f?3?=f?2-3?=f?3?,又∵x≥1 时,f(x)=3x-1 为单调递 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 3 5 增函数,且3<2<3, ?4? ?3? ?5? ∴f?3?<f?2?<f?3?, ? ? ? ? ? ? ?2? ?3? ?1? 即 f?3?<f?2?<f?3?.选 B. ? ? ? ? ? ? 答案:B 2.已知实数 a,b 满足等式 2 017a=2 018b,下列五个关系式:①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④ b<a<0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有( A.1 个 C .3 个 ) B.2 个 D.4 个 )

解析:设 2 017a=2 018b=t,如图所示,由函数图像,可得

若 t>1,则有 a>b>0;若 t=1,则有 a=b=0;若 0<t<1,则有 a<b<0.故①②⑤可能成立,而③④ 不可能成立. 答案:B 3.(2018· 莱西一中模拟)函数 y=ax-a-1(a>0,且 a≠1)的图像可能是( )

1 1 解析: 函数 y=ax-a是由函数 y=ax 的图像向下*移a个单位长度得到, A 项显然错误; 当 a>1 时, 1 1 0<a<1,*移距离小于 1,所以 B 项错误;当 0<a<1 时,a>1,*移距离大于 1,所以 C 项错误, 故选 D. 答案:D 4.(2018· 日照模拟)若 x∈(2,4),a=2x2,b=(2x)2,c=22x,则 a,b,c 的大小关系是( A.a>b>c C.c>a>b B.a>c>b D.b>a>c )

解析:∵b=(2x)2=22x,∴要比较 a,b,c 的大小,只要比较当 x∈(2,4)时 x2,2x,2x 的大小即可.用 特殊值法,取 x=3,容易知 x2>2x>2x,则 a>c>b. 答案:B 1 5.已知 a>0,且 a≠1,f(x)=x2-ax.当 x∈(-1,1)时,均有 f(x)<2,则实数 a 的取值范围是( 1? ? A.?0,2?∪[2,+∞) ? ? 1? ? C.?0,4?∪[4,+∞) ? ? ?1 ? B.?2,1?∪(1,2] ? ? ?1 ? D.?4,1?∪(1,4] ? ? )

1 1 解析:当 x∈(-1,1)时,均有 f(x)<2,即 ax>x2-2在(-1,1)上恒成立, 1 1 1 令 g(x)=ax,m(x)=x2-2,当 0<a<1 时,g(1)≥m(1),即 a≥1-2=2, 1 此时2≤a<1; 1 1 当 a>1 时,g(-1)≥m(1),即 a-1≥1-2=2,此时 1<a≤2. 1 综上,2≤a<1 或 1<a≤2.故选 B. 答案:B 6.(2018· 菏泽模拟)若函数 f(x)=1+ n 的值是( A.0 ) B.1 2x+1 +sin x 在区间[-k,k](k>0)上的值域为[m,n],则 m+ 2x+1

C .2 2· 2x 解析:∵f(x)=1+ x +sin x 2 +1 2x+1-1 =1+2· x +sin x 2 +1 =2+1- =2+ 2 +sin x 2 +1
x

D.4

2x-1 +sin x. 2x+1 2x-1 +sin x,则 f(x)=g(x)+2, 2x+1

记 g(x)=

易知 g(x)为奇函数,则 g(x)在[-k,k]上的最大值与最小值互为相反数,∴m+n=4. 答案:D 7.若 xlog52≥-1,则函数 f(x)=4x-2x+1-3 的最小值为( A.-4 C.-1 B.-3 D.0 )

1 解析:∵xlog52≥-1,∴2x≥5,则 f(x)=4x-2x+1-3=(2x)2-2×2x-3=(2x-1)2-4.当 2x=1 时, f(x)取得最小值-4. 答案:A 8.若 x>1,y>0,xy+x-y=2 2,则 x y-x-y 的值为( A. 6 C .2 B.-2 D.2 或-2 )

解析:∵x>1,y>0,∴xy>1,0<x-y<1,则 xy-x-y>0. ∵xy+x-y=2 2,∴x2y+2xy· x-y+x-2y=8,即 x2y+x-2y=6,∴(xy-x-y)2=4, 从而 xy-x-y=2,故选 C. 答案:C 1 ?1? ? 2? 1 9.已知实数 a,b 满足2>?2?a>? ?b>4,则( ? ? ?2? A.b<2 b-a C.a< b-a 1 ?1? 解析:由2>?2?a,得 a>1; ? ? )

B.b>2 b-a D.a> b-a

? 2? ? 2? ?1? ? 2? 由?2?a>? ?b,得? ?2a>? ?b,进而 2a<b; ? ? ?2? ?2? ?2? ? 2? 1 ? 2? ? 2? 由? ?b>4,得? ?b>? ?4,进而 b<4. ?2? ?2? ?2? ∴1<a<2,2<b<4. 3 7 取 a=2,b=2,得 b-a= 11 39 取 a=10,b=10,得 b-a= 答案:B 1? ? 10.已知函数 f(x)=?2x-2x?· ,m,n 为实数,则下列结论中正确的是( ? ? A.若-3≤m<n,则 f(m)<f(n) B.若 m<n≤0,则 f(m)<f(n) C.若 f(m)<f(n),则 m2<n2 D.若 f(m)<f(n),则 m3<n3 ? -x 1 ? 解析:∵f(x)的定义域为 R,其定义域关于原点对称,f(-x)=?2 -2-x?· ? ? 1 f(x),∴函数 f(x)是一个偶函数,又 x>0 时,2x-2x与 1? ? =?2x-2x?· = ? ? ) 7 3 2-2= 2,有 a> b-a,排除 C;b>2 b-a,排除 A; 39 11 10-10= 14 5 ,有 a< b-a,排除 D.故选 B.

是增函数,且函数值为正,∴函数 f(x)=

? x 1? ?2 -2x?· 在(0,+∞)上是一个增函数,由偶函数的性质知,函数 f(x)在(-∞,0)上是一个减函 ? ? 数,此类函数的规律是:自变量离原点越*,函数值越小,即自变量的绝对值越小,函数值就越 小,反之也成立.对于选项 A,无法判断 m,n 离原点的远*,故 A 错误;对于选项 B,|m|>|n|, ∴f(m)>f(n),故 B 错误;对于选项 C,由 f(m)<f(n),一定可得出 m2<n2,故 C 是正确的;对于 选项 D,由 f(m)<f(n),可得出|m|<|n|,但不能得出 m3<n3,故 D 错误.综上可知,选 C. 答案:C 11.(2017· 高考全国卷Ⅲ)已知函数 f(x)=x2-2x+a(ex 1+e
- -x+1

)有唯一零点,则 a=(

)

1 A.-2 1 C.2 解析:由 f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),得

1 B.3 D.1

f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a[e2-x-1+e-(2-x)+1]=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1)=x2-2x+a(ex-

1

+e-x+1),所以 f(2-x)=f(x),即 x=1 为 f(x)图像的对称轴.

由题意,f(x)有唯一零点,所以 f(x)的零点只能为 x=1,即 f(1)=12-2×1+ a(e1-1+e-1+1)=0, 1 解得 a=2.故选 C. 答案:C 12.若函数 f(x)=2|x-a|(a∈R)满足 f(1+x)=f(1-x),且 f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数 m 的 最小值等于 .

解析:因为 f(1+x)=f(1-x),所以函数 f(x)关于直线 x=1 对称,所以 a=1,所以函数 f(x)=2|x-1| 的图像如图所示,因为函数 f(x)在[m,+∞)上单调递增,所以 m≥1,所以实数 m 的最小值为 1.

答案:1 13.(2018· 眉山模拟)已知定义在 R 上的函数 g(x)=2x+2-x+|x|, 则满足 g(2x-1)<g(3)的 x 的取值范围是 .

解析:∵g(x)=2x+2-x+|x|,∴g(-x)=2x+2-x+|-x|,2x+2-x+|x|=g(x),则函数 g(x)为偶函数, 当 x≥0 时,g(x)=2x+2-x+x,则 g′(x)=(2x-2-x)· ln 2+1>0,则函数 g(x)在[0,+∞)上为增函 数,而不等式 g(2x-1)<g(3)等价于 g(|2x-1|)<g(3),∴|2x-1|<3,即-3<2x-1<3,解得-1 <x<2,即 x 的取值范围是(-1,2). 答案:(-1,2) ?1? 14.(2018· 信阳质检)若不等式(m2-m)2x-?2?x<1 对一切 x∈(-∞,-1]恒成立,求实数 m 的取 ? ? 值范围. ?1? ?1? ??1? ? ?1? 解析:(m2-m)2x-?2?x<1 可变形为 m2-m<?2?x+??2?x?2,设 t=?2?x,则原条件等价于不等式 m2 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? -m<t+t2 在 t≥2 时恒成立,显然 t+t2 在 t≥2 时的最小值为 6,所以 m2-m<6,解得-2<m< 3.


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